因果推断导论笔记-Lecture2-Assignment Mechanism

分配机制的介绍。分配机制对因果推断非常重要。

一些记号

共五个元素：Unit，Treatment，Potential outcomes，X（协变量），W（分配）。

随机性来源于W，W是一个随机变量（可取0取1）。

分配机制，就是要研究$P(W)$

平均因果作用（ACE），average causal effect，定义为：

$$τ_{fs}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}\limits^{N}{(Y_i(1)-Y_i(0))}$$

观测值、缺失值相当于一个复合的映射：

$$Y_i^{obs}=Y_i(W_i)=W_iY_i(1)+(1-W_i)Y_i(0)$$

$$Y_i^{mis}=Y_i(1-W_i)=(1-W_i)Y_i(1)+W_iY_i(0)$$

Simpson’s Paradox

New Jersey州的考试成绩比Nebraska的考试成绩低，但是分人种的话全部都是New Jersey州占优。

这是因为New Jersey州的白人占比比较少，而白人的平均成绩会比较高。

所以如果加权来看（用国家的人种比例统一加权），New Jersey州的成绩更好。

选择哪种计算方式，Depends on your questions。

人种在这里就是协变量，不是我们关心的因果变量。

因此可以看出分配机制不仅和潜在结果有关，还和协变量有关。

分配机制的精确定义

分配机制

分配机制是一个随机向量。有n个units，分配机制就是n维，共有$2^n$种取值。

两种处理的协变量比例要相同。

倾向得分Propensity Score

相当于边缘概率的另外一个方向，一个子总体内部有多高的比例分配到处理组。

从另一个角度，倾向得分可以作更粗的划分，使得样本量增大。

通过例子理解

下面这个例子是更复杂的分配机制，unit1随机，unit2和unit1相反，unit3取决于哪个结果更好（不考虑结果相等）：

进入某个平行世界后，Y就没有随机性了。分析过程可以先画序贯树：

结果如下：

假设

从上面可以看出分配机制很复杂，需要增加一些假设来简化。

个体化假设

上述$p_i$要取决于其他个体的潜在结果。

因此假设为：一个个体的分配概率和其他协变量、其他个体的潜在结果无关，且如果协变量、潜在结果相同，概率相同。还假设了向量的联合概率分布可以从边缘的概率表示。

这样，倾向得分化简为：

$$e(x)=\frac{1}{N_x}\sum_{i:X_i=x}q(X_i,Y_i(0),Y_i(1))$$

概率性分配

probabilistic.

简单来讲就是每一项倾向得分都要在(0, 1)之间。

无混杂假设

在Simpson悖论中，Y是通过影响X来影响W的，平衡了X，Y就没影响了。

因此假设在X条件下，W和Y独立。

这样，倾向得分就化简成了：

$$e(x)=q(x)$$

如果无混杂假设不成立怎么办？

可以尝试增加X，使其达到无混杂。

但是也不是所有X都加进来，有可能多加一个X就不独立了。

以上三种假设称为强可忽略性假设。

普通的可忽略性假设指的是，分配机制可以不依赖于看不到的$Y^{mis}$了，只取决于$W,X,Y^{obs}$。

上面三条假设和SUTVA没有直接的强弱关系，SUTVA是在客观的没有随机性的世界里的假设，而上述三条假设是在分配机制上的假设。但有关联，因为是在SUTVA的基础上完成的。

两种data collection

Randomized Experiments

an assignment mechanism that

1. is probabilistic, and
2. has a known functional form that is controlled by the researcher.

经典的随机化试验还要求：

1. individualistic and
2. unconfounded

经典随机化试验有四种特例，区别就是支撑集$W^+$（真实可能取到的集合）：

Bernoulli Trails

按概率独立地随机抽：

Completely Randomized Experiment

数量要固定：

此外还有Stratified Randomized Experiment和Paired Randomized Design。

Observational

the functional form of the assignment mechanism is unknown(the key difference from experiments).

要求是规则的，即满足：

1. individualistic
2. probabilistic
3. unconfounded